Bentuk akar - Bilangan & Aljabar Materi Matematika Wajib Kelas 10

Berikut artikel sekitar 2000 kata tentang bentuk akar yang ditulis secara original dan runtut.

1. Pengertian Bentuk Akar

Dalam matematika, terutama di jenjang SMP dan SMA, kita sering menjumpai istilah bentuk akar. Secara sederhana, bentuk akar adalah bentuk bilangan yang mengandung tanda akar, biasanya akar pangkat dua, tiga, atau pangkat lainnya, dan tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan rasional lagi.

Contoh bentuk akar:

• (\sqrt{2})

• (\sqrt{3})

• (\sqrt[3]{5})

• (\sqrt{7} + 2)

Bilangan seperti (\sqrt{4} = 2) sebenarnya bukan lagi bentuk akar, karena sudah dapat disederhanakan menjadi bilangan bulat. Jadi, ketika kita bicara bentuk akar, yang dimaksud biasanya adalah akar yang masih mengandung bilangan yang tidak bisa diakarkan secara “pas”.

Secara umum, bentuk akar dapat ditulis sebagai:

[
\sqrt[n]{a}
]

dengan:

• (n) = indeks akar (pangkat berapa),

• (a) = bilangan yang ada di dalam akar (disebut radikan).

Jika hasilnya bukan bilangan rasional (pecahan/bulat), maka bentuk itu disebut mengandung bilangan irasional.

2. Jenis–Jenis Bentuk Akar

Bentuk akar bisa diklasifikasikan berdasarkan beberapa hal, misalnya berdasarkan indeksnya, atau apakah akarnya bisa disederhanakan atau tidak.

2.1 Berdasarkan Indeks

1. Akar pangkat dua (akar kuadrat)
   Bentuk paling umum, ditulis (\sqrt{a}).
   Contoh: (\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}).

2. Akar pangkat tiga (akar kubik)
   Ditulis (\sqrt[3]{a}).
   Contoh: (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{7}).

3. Akar pangkat n
   Untuk n lebih besar dari 3, misalnya (\sqrt[4]{3}, \sqrt[5]{6}), dan seterusnya.

Dalam pembelajaran dasar, yang paling sering dibahas adalah akar pangkat dua.

2.2 Berdasarkan Kesederhanaan

1. Bentuk akar sederhana

   • Tidak ada faktor kuadrat sempurna di dalam radikan (untuk akar pangkat dua).

   • Contoh: (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}).

2. Bentuk akar tidak sederhana

   • Radikannya masih memiliki faktor kuadrat sempurna sehingga bisa disederhanakan.

   • Contoh: (\sqrt{8}, \sqrt{12}, \sqrt{50}).

Misalnya (\sqrt{8}) bukan bentuk akar paling sederhana karena 8 = 4 × 2, dan 4 adalah kuadrat sempurna.

3. Menyederhanakan Bentuk Akar

Salah satu keterampilan penting adalah menyederhanakan bentuk akar. Tujuannya adalah menulis bentuk akar dalam bentuk yang paling “ringkas” dan rapi.

3.1 Konsep Faktor Kuadrat Sempurna

Untuk akar pangkat dua, kita mencari faktor yang merupakan kuadrat sempurna, seperti:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, dan seterusnya.

Contoh:

[
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
]

Langkah umum:

1. Faktorkan bilangan dalam akar.

2. Pisahkan faktor kuadrat sempurna.

3. Akar dari faktor kuadrat sempurna dikeluarkan dari tanda akar.

3.2 Contoh–contoh Penyederhanaan

1. (\sqrt{18})
   18 = 9 × 2, dan 9 kuadrat sempurna.
   [
   \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}
   ]

2. (\sqrt{50})
   50 = 25 × 2, 25 kuadrat sempurna.
   [
   \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}
   ]

3. (\sqrt{72})
   72 = 36 × 2.
   [
   \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}
   ]

4. (\sqrt[3]{54})
   Untuk akar pangkat tiga, cari kubik sempurna seperti 1, 8, 27, 64, dan seterusnya.
   54 = 27 × 2.
   [
   \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}
   ]

4. Operasi pada Bentuk Akar

Bentuk akar juga bisa dikenai operasi hitung: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, ada aturan tertentu yang perlu diperhatikan.

4.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Penjumlahan/pengurangan bentuk akar hanya bisa dilakukan secara langsung jika radikannya sama.

Analogi: mirip dengan penjumlahan suku sejenis pada aljabar
((2x + 3x = 5x)).

Contoh:

1. (2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2 + 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3})

2. (4\sqrt{5} - \sqrt{5} = (4 - 1)\sqrt{5} = 3\sqrt{5})

Jika radikan berbeda, bentuk akar tidak bisa dijumlahkan secara langsung:

• (\sqrt{2} + \sqrt{3}) tidak bisa disederhanakan lagi.

• (\sqrt{5} - \sqrt{2}) juga dibiarkan apa adanya.

Namun, kadang radikan bisa dibuat sama dengan menyederhanakan terlebih dahulu.

Contoh:

[
\sqrt{8} + \sqrt{18}
]

Sederhanakan:

• (\sqrt{8} = 2\sqrt{2})

• (\sqrt{18} = 3\sqrt{2})

Maka:

[
\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
]

4.2 Perkalian Bentuk Akar

Perkalian bentuk akar jauh lebih fleksibel. Secara umum:

[
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
]

Contoh:

1. (\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6})

2. (2\sqrt{5} \times 3\sqrt{2})

   • Kalikan koefisien: 2 × 3 = 6

   • Kalikan radikannya: (\sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10})
     Hasil: (6\sqrt{10})

3. (\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6)

Kadang, setelah mengalikan, hasilnya perlu lagi disederhanakan.

4.3 Pembagian Bentuk Akar

Untuk pembagian:

[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad b \neq 0
]

Contoh:

1. (\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2)

2. (\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{5}} = 3\sqrt{1} = 3)

Namun, dalam matematika formal, kita biasanya ingin penyebut tidak mengandung akar. Proses menghilangkan akar dari penyebut disebut merasionalkan penyebut.

5. Merasionalkan Penyebut

Merasionalkan penyebut adalah mengubah bentuk pecahan yang penyebutnya mengandung akar menjadi pecahan dengan penyebut berupa bilangan rasional (tanpa akar).

5.1 Penyebut Berbentuk (\sqrt{a})

Jika ada bentuk:

[
\frac{1}{\sqrt{a}}
]

Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan (\sqrt{a}):

[
\frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}
]

Contoh:

1. (\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3})

2. (\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5})

5.2 Penyebut Berbentuk (a + \sqrt{b}) atau (a - \sqrt{b})

Jika penyebutnya bentuk binom (dua suku) yang melibatkan akar, gunakan konjugat.

• Konjugat dari (a + \sqrt{b}) adalah (a - \sqrt{b}).

• Konjugat dari (a - \sqrt{b}) adalah (a + \sqrt{b}).

Caranya:

[
\frac{1}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}
]

Karena ((a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b).

Contoh:

[
\frac{2}{3 + \sqrt{5}}
]

Kalikan dengan konjugat:

[
\frac{2}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{(3)^2 - 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4}
]

Sederhanakan:

[
= \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
]

Sekarang penyebutnya sudah rasional.

6. Mengubah Bentuk Akar ke Bentuk Pangkat dan Sebaliknya

Bentuk akar juga bisa ditulis sebagai bentuk pangkat, begitu juga sebaliknya. Hubungan umumnya:

[
\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
]

Jadi:

• (\sqrt{a} = a^{1/2})

• (\sqrt[3]{a} = a^{1/3})

• (\sqrt[4]{a} = a^{1/4}), dan seterusnya.

Ini berguna ketika mempelajari aturan–aturan pangkat di tingkat yang lebih lanjut, misalnya:

[
\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a^{1/2} \times a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^1 = a
]

Hal ini menjelaskan mengapa:

[
\sqrt{a^2} = |a|
]

Secara konsep, akar pangkat dua adalah kebalikan dari kuadrat.

7. Contoh Soal dan Pembahasan Singkat

Contoh 1

Sederhanakan bentuk akar berikut:
a. (\sqrt{27})
b. (\sqrt{45})

Jawab:

a. (\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3})
b. (\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5})

Contoh 2

Hitung hasil dari ( \sqrt{20} + \sqrt{45}).

Jawab:

Sederhanakan dulu:

• (\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5})

• (\sqrt{45} = 3\sqrt{5})

Maka:

[
\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
]

Contoh 3

Hitung ( (2\sqrt{3})(3\sqrt{6})).

Jawab:

• Kalikan koefisien: 2 × 3 = 6

• Kalikan akar: (\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2})

Maka:

[
(2\sqrt{3})(3\sqrt{6}) = 6 \times 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}
]

Contoh 4

Rasionalkan penyebut dari (\frac{4}{\sqrt{7}}).

Jawab:

[
\frac{4}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}
]

Contoh 5

Rasionalkan penyebut dari (\frac{5}{2 - \sqrt{3}}).

Jawab:

Kalikan dengan konjugat (2 + \sqrt{3}):

[
\frac{5}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{5(2 + \sqrt{3})}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 5(2 + \sqrt{3}) = 10 + 5\sqrt{3}
]

8. Penerapan Bentuk Akar dalam Kehidupan Sehari–hari

Mungkin muncul pertanyaan: “Untuk apa sih belajar bentuk akar? Kelihatannya hanya hitung–hitungan saja.”
Sebenarnya, bentuk akar muncul dalam banyak konteks nyata, misalnya:

8.1 Geometri dan Pengukuran

Dalam geometri, Teorema Pythagoras sering melibatkan bentuk akar.
Misalnya, jika sebuah segitiga siku–siku memiliki sisi tegak 3 cm dan alas 4 cm, maka panjang sisi miring (c):

[
c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]

Namun, jika panjang sisinya bukan bilangan yang “pas”, hasil panjang sisi miring bisa berupa bentuk akar, misalnya:

• Sisi miring segitiga dengan kaki 1 dan (\sqrt{3}) adalah (\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2)

Untuk kasus lain:

• Sisi 5 dan 7, maka sisi miring:
  [
  c = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}
  ]
  Hasilnya tetap dalam bentuk akar.

8.2 Fisika dan Teknik

Dalam fisika, rumus–rumus yang melibatkan energi, kecepatan, atau jarak kadang juga memunculkan bentuk akar. Misalnya:

• Rumus kecepatan gelombang,

• Rumus kecepatan rata–rata dalam beberapa konteks,

• Perhitungan gaya dan energi dalam bidang teknik.

Walaupun dalam praktik sering digunakan kalkulator, memahami bentuk akar membantu kita mengerti dari mana angka–angka itu berasal.

8.3 Statistik dan Ilmu Data

Konsep simpangan baku (standard deviation) dalam statistika juga menggunakan akar pangkat dua. Prosesnya biasanya:

1. Mengkuadratkan selisih data dengan rata–rata,

2. Menjumlahkannya,

3. Membaginya dengan jumlah data (atau n - 1),

4. Mengambil akar pangkat dua.

Jadi, bentuk akar sangat penting dalam analisis data dan pengukuran variasi.

9. Tips Menguasai Materi Bentuk Akar

Agar lebih mahir dalam materi bentuk akar, beberapa tips berikut bisa membantu:

1. Hafalkan kuadrat sempurna dan kubik sempurna
   Misalnya:

   • Kuadrat: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

   • Kubik: 1, 8, 27, 64, 125, dan seterusnya.
     Ini mempermudah proses penyederhanaan.

2. Biasakan memfaktorkan bilangan
   Semakin cepat kamu memfaktorkan bilangan ke dalam perkalian, semakin mudah menyederhanakan akar.

3. Latih operasi hitung dengan teliti
   Khususnya penjumlahan/pengurangan; pastikan hanya menjumlahkan akar dengan radikan yang sama.

4. Jangan takut dengan bentuk irasional
   Bentuk akar yang tidak “habis” diakarkan memang tampak aneh, tapi tidak perlu diubah menjadi desimal jika tidak diminta. Bentuk akar justru sering dianggap lebih tepat secara matematis.

5. Kerjakan banyak latihan soal
   Semakin sering latihan, semakin otomatis langkah–langkah penyederhanaan dan operasi bentuk akar.

Bentuk akar adalah salah satu materi dasar yang menjadi fondasi untuk banyak topik matematika lanjutan: aljabar, geometri, trigonometri, kalkulus, hingga statistika. Memahaminya sejak awal akan sangat membantu ketika kamu naik jenjang pendidikan atau masuk ke bidang yang banyak menggunakan angka dan perhitungan.

Mulai dari definisi sederhana, cara menyederhanakan, operasi dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), merasionalkan penyebut, hingga penerapannya dalam kehidupan sehari–hari, semua menunjukkan bahwa bentuk akar bukan sekadar “simbol aneh” dalam pelajaran, tetapi bagian penting dari bahasa matematika itu sendiri.

Kalau kamu mau, aku juga bisa buatkan kumpulan soal latihan bentuk akar lengkap dengan pembahasannya supaya materinya makin nempel.